Fator integrante de uma equação diferencial de 1ª ordem: uma observação.

Vi a foto de um trecho de aula sobre resolução de equações diferenciais de 1ª ordem com uso de fator integrante, no Grupo do Facebook, PROFS DE MATEMÁTICA TIRAM DÚVIDAS, e me lembrei de um texto do Prof. Chaim Samuel Hönig, IME – USP, em que está a análise completa desse assunto como nunca vi noutro lugar. 

Na Álgebra, quando se resolvem equações elevando os dois membros ao quadrado, já nos acostumamos e verificar se foram introduzidas soluções estranhas ao problema dado. Também o uso do fator integrante pode incluir algumas soluções e excluir outras. Isso é fácil de perceber, e o texto do Prof. Chaim traz isso, mas nunca vi essa análise noutro lugar.

De fato, se você tem um fator integrante m da equação Xdx+Ydy e integra achando F(x,y), você sabe que 

dF = m(Xdx+Ydy). 

Então, curvas em que m = 0 estão incluídas em F = constante, mas podem não ser solução da equação de partida. 

Por outro lado, 

Xdx+Ydy = (1/m)dF, 

então, curvas tais que 1/m = 0 são soluções da equação e podem ter sido excluídas...

Desde que vi isso, sempre que resolvo uma equação pelo fator integrante, analiso as curvas definidas por m = 0 – se existirem, elas estão certamente incluídas naquelas em que F = constante, mas podem ser, ou não, soluções da equação dada. 

E, se houver curvas tais que 1/m=0, elas podem não estar incluídas em F = c, mas são soluções da equação.

Podemos estranhar que haja curvas em que 1/m = 0, mas vale lembrar que m pode ser, por exemplo, 1/x...

 

Escrevi aqui porque não achei o texto original, embora a memória me diga que ele está por aí em algum nó desta Rede...

Sobre as quotas nas Universidades ou Onde e como são formados nossos professores primários?

Com a imposição de quotas e monitores para os alunos das escolas públicas, parece que o governo brasileiro jogou a toalha e não mais vai tentar melhorar o ensino público!

Não precisamos de “quotas de vergonha”, o de que precisamos é de um ensino primário público decente.

E a formação do professor desse nível de ensino? Uma das 5 profissões para as quais o pedagogo precisa sair preparado!

Portugal, para entrar na CE, fez um concurso nacional para escolas de formação de professores e deu alguns anos para os aprovados tirarem seus mestrados em locais de excelência, escolhidos de acordo com a área.

Precisamos fazer o mesmo! Criar escolas modelos de formação de professores primários e ensinar nossas crianças! Ensinar mesmo! Dar-lhes a alegria de aprender que é lúdica e de ascensão social.

Isso, sim, será uma quota de preparo e competência para o estudante que não pode pagar os bons colégios particulares.

Essa é uma quota que constrói e não uma quota de vergonha!

Por um ensino primário que faça jus à capacidade da criança de aprender! Vejam nossos livros didáticos para esse nível de ensino: muitas atividades, muita criatividade ... dos autores, mas nada de conteúdo para valer!

É a construção de um edifício (9 + 3 anos de escolaridade) sem alicerce!

E de nada vão adiantar os 10% do PIB para enfeitar esse edifício sem base. Ele não se mantém de pé!

Aguardando explicação...

Nas discussões sobre metodologias de ensino-aprendizagem e sobre livros didáticos, há um ponto que não consigo entender. Estou à espera de uma explicação convincente.

É o seguinte: quando um professor gosta de dar aulas usando o quadro ou passa alguma lição de casa que não seja uma pesquisa na Internet, ele é classificado como “tradicional”, num tom de voz que mostra o quão desprezíveis são tais ações.

Quando um livro apresenta uma lista de exercícios não contextualizados, que não liguem equações do 2º grau ao número de tremores terrestres ou a lucros na venda de pastéis, ou a algo parecido, esse livro é classificado como “tradicional” e são igualmente desprezados e “tachados de tradicionais” os professores que, por ventura, ou desventura, queiram usar tais livros.

Por outro lado, em toda conversa entre colegas sobre o que está acontecendo atualmente nas escolas, ouço falar e falo também: “ no meu tempo, a essa altura, já sabíamos isso e muito mais”, “ no meu tempo, podíamos não saber fazer, mas sabíamos que não sabíamos, mas agora...”. Enfim, ao que tudo indica, “tradicionalmente” o ensino era melhor.

E então?

Ouvi com bastante curiosidade, numa ocasião em que um livro era “taxado” de tradicional, um dos nossos colegas dizer: “mas foi por esse tipo de livro que estudamos ... e aprendemos”.

Alguém poderia me explicar, então, o que era tão ruim nos livros e processos tradicionais pelos quais aprendemos o que, agora, não conseguimos ensinar?

A, ante, após, até ... e a tabuada...

Minha mãe nos contava que, quando ela era pequena e passava nas calçadas de escolas, ouvia as crianças cantando a tabuada. O tempo foi passando e, lá pelos anos 60, soube de professoras da Escola Normal Caetano de Campos, em São Paulo, que sugeriam aos pais que comprassem as tabuadas para seus filhos. Elas pediam que as crianças decorassem a tabuada, mas não a levassem na mala (naquele tempo, não havia mochilas). As tabuadas eram condenadas por lá e as professoras seriam advertidas.

Resultado: adolescentes envergonhados fazendo contas com dedos embaixo das carteiras! E o pior: demorando muito para fazer qualquer cálculo, o que desequilibra as previsões de tempo gasto nas provas.

Pior ainda: tiram o gosto pela resolução de problemas que se torna uma tarefa por demais árdua.

Enquanto isso, assistimos estarrecidos a entrevistas na televisão de professores que vendem CD, em que fórmulas de Física e Química são cantadas e decoradas sem qualquer explicação ou significado! Professores fazem propaganda desse recurso na preparação de jovens vestibulandos.

Quem foram os culpados de eliminar da nossa vida estudantil a memorização da tabuada? 

Não sei, mas será assim tão difícil perceber que foi um passo atrás? 

Havia a alegação de que não adiantava decorar sem que se soubesse para que serviria. Não são excludentes, pelo contrário, são complementares: não adianta decorar sem saber para que serve, mas não adianta saber para que serve, sem conhecer o objeto.

Quando éramos crianças, minha irmã, que seria mais tarde uma tremenda professora de música, me fazia decorar muita coisa cantando. Assim é que, até hoje, sei enunciar todas as preposições: a, ante, após, até, ... e, em, exceto, mediante, ... . Fui do tempo do Latim nas escolas e, sob a batuta da minha irmã, declinava, sempre cantando: Qui, Quae, Quod, Cuius, Cui, ... e posso repetir até hoje.

Nas igrejas batistas, há o interesse em decorar muitas passagens bíblicas, na idade entre 9 e 11 anos. Há organizações de adolescentes em que a promoção de um passo a outro é feita de acordo com a memorização de versículos da Bíblia. 
Tudo para aproveitar a idade em que os fatos na memória permanecem por mais tempo.

Estudos sobre a memória foram muito desenvolvidos nestes anos, mas não há dúvida sobre a vantagem de guardar de memória, bem cedo, fatos que serão úteis pelo resto das nossas vidas. O vocabulário e a tabuada fazem parte desses.  

Por que não podemos voltar a cantar a tabuada?

Quando percebi que meus alunos do curso normal não sabiam a tabuada, pedi às turmas que fizessem um rap com algumas tabuadas. Foi uma experiência interessante, mas eles inventaram letras muito complicadas e não estou muito certa de que o objetivo principal tenha sido atingido. Ficou a ideia para que repetissem a experiência com seus futuros alunos.

Hoje em dia, ainda não se fala muito em tabuada, mas muitos concordam que os “fatos básicos” das quatro operações sejam conhecidos. Tudo bem, esse é um outro problema que me intriga – a frequente mudança de nomes para coisas antigas – mas já me acostumei a ceder nos nomes para manter os princípios.

Procurando informações sobre a tabuada, vi, no Google, que já há muitas cantigas com tabuadas, mas não ouço essas músicas nas calçadas, nem vejo as crianças sabendo quanto seja 7 vezes 8.

Diferente, mas não é igual?

Um colega, professor titular num Departamento de Matemática, escreveu-me sobre um fato que aconteceu numa reunião de pais e mestres na escola de um filho seu. Uma professora falou da necessidade que os alunos têm de entender que 2x3 é "totalmente diferente" de 3x2.

A mensagem do colega continua: Aí perguntei se eventualmente eles iriam ser ensinados que o resultado dá igual. Os professores tendem a confundir o que eles precisam entender com o que os alunos precisam aprender.

Reconheço que isso acontece mesmo e muito. Mas quem precisa passar essa distinção aos professores de sala de aula, são os formadores que, de dentro da Universidade, se ocupam do Ensino Básico. É uma pena que as Secretarias de Educação, dos Estados e Municípios, não tenham suas próprias equipes com as regalias dos professores da Universidade, que possam participar de Congressos, que possam trazer professores estrangeiros com quem troquem experiências, que disponham de bibliotecas especializadas e de tempo para estudo paralelo às atividades didáticas. É uma pena que os cursos de Licenciatura não tenham um espaço próprio dentro das Universidades, em que a principal preocupação seja a qualidade do ensino básico, ao invés de ficarem “atrelados” aos bacharelados que absorvem maior parte das atenções.

Nem sempre os professores que dão 40 horas-aula, ou mais, por semana, terão condições de analisar e distinguir o que é preciso exigir dos seus alunos e o que é excesso de preciosismo, ou mesmo o “canto de um galo” de local desconhecido.

Fico com pena dessa professora – que talvez nem esteja muito convencida de que 2x3 seja mesmo diferente de 3x2 – ter que ensinar isso aos seus alunos para depois colocar um sinal de = entre eles. Não é por acaso que eles têm dificuldade em compreender tal coisa.

Talvez seja por isso que meus alunos não acreditavam muito no sinal de igual. Eles me perguntavam, com frequência e certa relutância, se podiam substituir, por exemplo, 1/4 por 0,25.

O pior de tudo é que nem acho que 2x3 seja diferente de 3x2. Quando escrevo 2x3 ou 3x2, estou me referindo ao resultado da operação. E, até onde sei, a multiplicação leva ambos os pares (3,2) e (2,3) no número 6. Como diria um carioca legítimo: Né não? 

Disse, lá em cima, que fico com pena dessa professora, pois já encontrei colegas que exercem liderança em Educação Matemática, que fazem questão de distinguir esses 2 produtos (O produto não é o produto? O resultado?).

Claro que somar 3 parcelas iguais a 2 é uma operação e somar 2 parcelas iguais a 3 é outra operação, mas quando se escreve 2+2+2 ou 3+3 ou 2x3 ou 3x2 estamos nos referindo aos resultados que são um só e é por isso que podemos encaixar o sinal de igual entre eles.  

Quando quero conversar com uma criança sobre multiplicação, gosto de olhar para o chão, procurar um retângulo formado por lajotas retangulares do mesmo tamanho, colocar a criança de um e de outro lado, para que ela veja que pode calcular o número total de modos distintos e obter o mesmo valor. 

 

Os professores de sala de aula, aqueles que têm sobre si a responsabilidade de introduzir a criança ou o adolescente ao mundo da Matemática, são bombardeados por questões que só farão sentido em estudos posteriores. São detalhes que não fazem sentido para quem não for adiante e que, mais tarde, se preciso for, serão rapidamente apreendidos numa situação de contraste e com maior maturidade. Por exemplo, a propriedade comutativa da multiplicação vai fazer sentido completo quando o estudante vir uma que não o seja. Por exemplo, quando multiplicar matrizes.

De início, a comparação com a subtração e a divisão, no campo dos números naturais, tem o “pé quebrado”, pois, antes de ter resultados distintos, não é possível comutar - uma delas perde o sentido. Você não pode trocar o 3 com o 9 em 9 – 3 ou em 9 dividido por 3, nos números naturais, porque não é possível calcular 3 – 9 nem 3 dividido por 9. Por isso, não considero muito convincente essa comparação, antes de entrar no campo racional, com números positivos e negativos.

Faço um apelo aos meus colegas da Educação Matemática ou autores de livros que, por acaso, cheguem a este blog: no nível básico, vamos ficar na Matemática que faz sentido! Vamos fazer questão que nossos alunos entendam esse significado e que desenvolvam seu raciocínio com argumentos lógicos encadeados e não com “ordens” cujo significado eles não podem ainda alcançar, por falta de convivência com exemplos significativos ou mesmo, por falta absoluta de necessidade. Vamos escolher temas que dêem mais autonomia ao nosso colega professor da educação básica e não espalhar preconceitos que nada constroem.

Matemática, passo a passo: Como dividir?

Numa das minhas turmas no Curso Normal, encontrei alunos que não sabiam dividir e os que sabiam, nunca tinham visto uma justificativa do processo. Fiquei preocupada, pois o algoritmo é útil para cálculos não cobertos pela tabuada e não tão complicados que exijam a calculadora, ou em exames em que a calculadora não seja permitida. Além disso, o uso do algoritmo é uma oportunidade para a prática da estimativa.

            Co-existem 2 algoritmos utilizados na divisão: o longo e o curto. Para compreender como funciona qualquer um dos dois, vale a pena começar pelo longo e verificar depois como ele pode ser simplificado, para o algoritmo dito “curto”. Dentre os 2 algoritmos da divisão não há aquele que seja o melhor. O longo é mais simples, pois separa as operações de multiplicação e subtração utilizadas a cada passo, mas, como o próprio nome diz, é mais longo. O curto tem a vantagem de ocupar menos espaço e menos tempo (talvez!), mas integra a multiplicação e a subtração numa só operação, o que aumenta as dificuldades, notadamente, quando o divisor tem 2 ou mais algarismos.

            Na minha opinião, o professor deve escolher um deles, desde o início. Se algum aluno preferir um outro algoritmo, o professor deve analisar o processo do estudante, aceitá-lo se estiver certo e mostrar o erro ao aluno se estiver errado. Mas não acho bom apresentar opções variadas a um iniciante.

Considero também muito importante que o aluno tenha visto uma justificativa do processo utilizado, ainda que não saiba repeti-la.

O entendimento dos passos do algoritmo pode ser ilustrado, em exemplos, com uso de dinheiro e o respectivo registro em papel. Conforme a idade e o amadurecimento do estudante, pode ser preciso usar réplica de notas e moedas, mas, para os meus alunos, já adolescentes, só a ideia de usar o dinheiro já foi suficiente.

Justificando o algoritmo longo: Pedi aos alunos que se colocassem num país em que as notas são de 1 real, de 10, de 100 e de 1000 reais. Que se organizassem em grupos de 4 alunos. O problema dado aos grupos foi o de montar uma certa quantia com o menor número possível dessas notas e um dos estudantes iria distribuir igualmente essa quantia entre os 3 outros colegas, sempre usando o menor número possível de notas. As quantias indicadas aos grupos foram 648 reais, 436, 257 e 408 reais que seriam divididas por 3.

A primeira questão foi sobre começar pelas unidades (notas de 1 real), ou pelas centenas (a nota de maior valor). Por exemplo, ao dividir 436 por 3, o grupo que começou por distribuir as 6 notas de 1 real, distribuiu, para cada um dos 3 colegas,  2 notas de 1 real, 1 nota de 10 reais e 1 nota de 100 reais. Sobrou, porém, 1 nota de 100 reais e ficou claro que ainda seria possível distribuir mais notas de 10 reais entre os três. Foi preciso retornar às dezenas. Os próprios alunos concluíram, então, que, no algoritmo da divisão, o mais simples é começar pela ordem mais alta, ao contrário do que faziam nos algoritmos das operações anteriores: adição, subtração e multiplicação.

Estabelecido isso, os grupos teriam que completar a divisão e registrar cada passo. Ficou claro que notas de maior valor que sobrassem, por serem menos que 3, deveriam ser trocadas por notas de valor imediatamente inferior e juntadas àquelas desse mesmo valor que já faziam parte da quantia inicial (se houvesse alguma). No registro numérico, isso significou juntar à direita do resto o algarismo seguinte. Uma outra observação foi que, no grupo que pegou a quantia de 227 reais, não foi possível distribuir notas de 100 reais. O processo já começou pela troca das 2 notas de 100 por notas de 10 reais que foram acrescidas das 5 notas de 10 reais que já faziam parte da quantia inicial

Todos tiveram, entretanto, uma dúvida: a cada passo, com as notas em mãos, o resto correspondia às notas que não mais poderiam ser distribuídas por serem em número menor do que 3. Sem as notas, porém, como saber quantas entregar a cada um e quantas sobrariam em cada etapa?

Pensando um pouco, os grupos concluíram que, sem as notas em mãos, havia uma nova etapa: a avaliação de quantas notas poderiam ser entregues a cada um.

Perceberam também que precisavam saber qual o total das notas distribuídas de cada vez e que, dado o número de notas que cada um recebeu, saber quantas foram distribuídas ao todo seria um problema que se resolve com uma multiplicação. Para saber, então, qual é o resto a cada passo, bastaria multiplicar por 3 o que cada um acabou de ganhar e subtrair do que havia para ser distribuído. E isso deveria ser feito em cada etapa.

Meus alunos acabaram por perceber todos os passos da divisão:

1.  Separar algarismos de ordem mais alta, o mínimo possível deles, que torne possível a divisão.

2.  Avaliar quanto será possível dar a cada um – ocasião em que o conhecimento das tabuadas de multiplicar é essencial. Algum dia desses, conto o que sugiro aos estudantes que não tiveram a oportunidade de decorar essas tabuadas na idade apropriada.

3.  Fazer a multiplicação do quanto coube a cada um pelo divisor.

4.  Se o produto for maior do que a quantia que havia para ser distribuída naquela etapa, a avaliação tem que ser refeita, voltando ao item anterior.

5.  Sendo o produto menor, será preciso subtrair esse produto do que havia para ser dividido naquela etapa.

6.  Se o resto for maior do que o divisor, a avaliação também terá que ser revista, voltando ao passo 3.

7.  Se o resto for menor do que o divisor, ele deverá ser acompanhado do próximo algarismo na quantia inicial (se houver) à sua direita: esse registro equivale a trocar as notas restantes numa etapa por notas de valor imediatamente inferior e juntá-las às notas de mesmo valor que faziam parte da quantia original. Conclusão imediata do valor posicional no nosso sistema decimal.

8.  Voltar ao passo 2, com a nova quantia assim formada e repetir o processo.

9.  Esse processo termina (na divisão com quociente inteiro), quando o algarismo da unidade já entrou na quantia a ser dividida.

Entendidos esses passos, foi preciso usar a nomenclatura própria de dividendo, divisor, quociente e resto e indicar a posição que cada um desses números ocupa no algoritmo.

Uma compensação desse trabalho com os alunos é a maior facilidade que os alunos adquirem ao lidar com o 0 na divisão. Todo professor sabe que numa divisão como por exemplo, 615 por 3, haverá muitas respostas 25. O aluno que passou pelos passos anteriores, está mais preparado para estranhar que as 2 primeiras “notas” não sejam de 100 reais e vai perceber que as notas que faltam são as “notas de 10 reais” e não as de 100 e que, portanto, o resultado é 205. Além disso, ele já está mais acostumado a fazer avaliações em divisões, o que pode servir de alarme quando uma divisão de mais que 600 por 3 não der um resultado maior do que 200.

Uma outra vantagem de apresentar a justificativa desse processo é que a continuação da divisão não exata para obtenção de um quociente com parte decimal fracionária nada mais é que o prosseguimento do processo de trocas –  agora, das notas de 1 real por moedas. É conveniente que, no país em que estamos fazendo os cálculos, haja moedas de 1 decavo (1 décimo do real – a nossa moeda de 10 centavos) e de 1 centavo.   

Para passar deste ao algoritmo curto, seria ainda preciso mostrar como a multiplicação e a subtração são feitas ao mesmo tempo, algarismo por algarismo. Nesse caso, a subtração é feita “de baixo para cima”. Daí, é recomendável que o professor que pretenda usar o processo curto na divisão, tenha escolhido o processo da subtração também “de baixo para cima”.

Hoje em dia, porém, quando as calculadoras são bastante acessíveis, não creio que faça muita diferença usar o algoritmo longo ao invés do curto. E o longo fica bem mais fácil, pois as operações de multiplicação e subtração seguem os mesmos passos estudados anteriormente, com uma ligeira mudança na posição dos dados. É preciso lembrar também que, ao utilizar o processo curto com um divisor de 2 algarismos, a multiplicação e a subtração, imbricadas passo a passo, se tornam ainda mais complicadas. A maior facilidade do algoritmo longo se manifesta mais claramente, nesses casos.

É difícil dividir?

          A divisão é uma operação um pouco mais complicada do que as três primeiras, adição, subtração e multiplicação. Já li que a divisão e a subtração são operações mais difíceis, pois exigem que a criança lide com perda. Essa seria a visão de alguns psicólogos. Será mesmo isso? Ou, só isso?

          Se assim fosse, o remédio seria recorrer a divisões que trouxessem benefícios, como dividir trabalho ou despesas. Há outras razões que tornam mesmo mais complicadas as operações inversas. Isso é verificável, por exemplo, em questões do tipo: "Qual é a fração equivalente a 3/5 cujo denominador é 20?" Nesse caso, dados os denominadores 5 e 20, a operação que nos dá o número pelo qual devemos multiplicar o numerador é a divisão: 20 ¸ 5 = 4. É muito provável que, mesmo os alunos que acertem a resposta, se solicitados a contar como acharam o 4, respondam: "Porque 4 × 5 = 20." Se você é professor, pode fazer o teste.

          Além disso, a divisão é bastante sensível ao campo numérico em que se esteja trabalhando. O estudante vê a divisão de um modo e, mais tarde, ela pode apresentar "outro resultado". De fato, uma divisão entre números naturais que deixa resto pode ser continuada, apresentando um resultado com mais casas decimais. Esse número de casas decimais pode ser muito grande ou mesmo infinito, o que significa que há divisões entre números naturais que não deixam resto 0, nem mesmo quando é prolongada. O resultado de uma divisão com resto pode ser dado também na forma de número misto. Pode mesmo acontecer que haja diferenças de resultados em algumas divisões feitas à mão e o resultado obtido numa calculadora ou entre resultados de divisões em 2 calculadoras. Diferenças causadas pela aproximação do resultado, por truncamento ou arredondamento: a divisão de 2 por 3, por exemplo, pode apresentar o resultado 2,6666666 ou 2,6666667 em calculadoras distintas.

          Que fique bem claro para nosso aluno, que o resultado da divisão de um número racional por outro (não nulo) é um número bem determinado. Acontece que, conforme a situação, esse número pode ser escrito de várias formas, e pode acontecer, também, que seja preciso usar uma aproximação do número, pois há circunstâncias em que não se pode usar o número certo. E essa dificuldade aparece já na divisão entre inteiros.

          Com efeito, por exemplo 7 dividido por 3, no mundo dos números naturais, dá quociente 2, com resto 1. Ora, se forem 7 reais, podemos tomar o quociente 2,33 com resto de 1 centavo (pois 2,33 × 3 = 6,99). Já se consideramos 7 metros, podemos tomar, por exemplo, o quociente 2,333 metros e o resto será de 1 milímetro. O resultado da divisão de 7 por 3 é o número racional 

que, na forma decimal, dá a dízima 2,333333........., com período 3, e que se escreve também como número misto: 

            Como disse um amigo meu, esse é um preço que a Matemática paga por ser universal e aplicar-se a situações as mais variadas.

                                                                

          Aliás, a necessidade de aproximação de um número racional pode aparecer já na multiplicação. Por exemplo, no cálculo do preço a pagar por 15 litros de gasolina a R$ 2,165 o litro. O cálculo a ser feito é: 2,165 × 15 = 32,475 e, por lei, o que se deve pagar é R$ 32,47, um valor aproximado por truncamento nos centésimos (centavos, no caso do real) do resultado da multiplicação.

          Uma outra dificuldade, na divisão, surge no cálculo por meio do algoritmo. Ao contrário dos algoritmos das três primeiras operações, em que se chega ao resultado sem necessidade da borracha se não houver engano, o algoritmo da divisão exige avaliação e tentativa. A avaliação, entretanto, pode não ter sido feliz e será preciso apagar o que se escreveu e fazer nova tentativa, mesmo sem que se tenha cometido erro algum.

          Qualquer dia destes, publico, aqui, um trecho que escrevi sobre esse algoritmo para "minhas" normalistas, quando percebi que não sabiam dividir. Conheço, porém, livros didáticos atuais que justificam de maneira razoável os passos do algoritmo da divisão.

Mídias distintas, mesmo nome. Mesma ansiedade?

Acabo de receber o livro de Gilberto G. Garbi, C.Q.D.: explicações e demonstrações sobre conceitos, teoremas e fórmulas essenciais da geometria. Editora Livraria da Física, 2010.

Sendo o livro do ano anterior ao início deste blog, fui eu que usei o mesmo nome que Garbi já usara com tanta propriedade. Isso, talvez, seja sinal de que temos a mesma preocupação com o abandono das demonstrações no nível básico.

Gentilmente, ele me ofereceu o livro. Tendo o livro em mãos, fui logo procurar os primeiros teoremas e deparei-me com o mesmo caminho traçado por meu professor de Matemática, no Canadá (colégio estadual em Santos, SP), o professor Carranca, na 3ª séria ginasial, correspondente ao 8º ano de hoje.

Uma lembrança bem mais recente me ocorreu também: o entusiasmo dos meus alunos com algumas dessas demonstrações.

Há professores que fogem do tema por achar que os alunos não irão acompanhar. Minha experiência diz o contrário. Uma das grandes dificuldades na aprendizagem de Matemática está no seu caráter cumulativo. A falta de professor por um período, um desencontro qualquer anterior podem comprometer a aprendizagem da matéria hoje. A introdução à Geometria, porém, não exige pré-requisito e estimula o aluno a raciocinar, de início, em situações bem simples.

É impressionante o entusiasmo de alguns alunos quando percebem que estão entendendo!

Vou continuar a leitura deste livro e tenho certeza de que ele vai ajudar muito o professor que pretenda levar seu aluno a pensar.

Obrigada, Garbi, não só pelo exemplar que recebi, mas por ter escrito esse livro.

Quando dois já é demais!

Na prova de uma aluna do 1º ano do curso normal (depois de 8 anos de curso regular), encontrei o resultado 1,11111 para a divisão de 6 por 1. Levei um susto, tratava-se de resolver uma equação e a estudante chegara a 1.x = 6.

Olhei o rascunho: 

Na ocasião, não entendi o que ela fizera, mas, ao ler um livro dos anos iniciais, encontrei a fonte do erro: a divisão por subtrações sucessivas.

Vi, então, que é comum que os livros de anos iniciais apresentem, à análise das crianças, vários algoritmos a fim de que usem, ora um, ora outro, ou que escolham algum dentre vários. Na divisão, é comum apresentar a divisão por subtrações sucessivas, o algoritmo longo e o curto.

Minha aluna nada mais foi do que uma vítima dessa prática: ela guardou que, quando não houvesse mais algarismos para serem baixados no dividendo, deveria colocar vírgula no quociente e continuar os cálculos. Aprendeu também que deveria prolongar as subtrações até chegar a um resto menor do que o divisor. Foi o que ela fez... mas embaralhou várias “instruções” mal digeridas.

Defendo ardorosamente a ideia de não expor o estudante a vários algoritmos, no início dos estudos. A defesa de apresentar várias possibilidades a fim de que o estudante entenda melhor o significado da própria operação, ou escolha o algoritmo que lhe seja mais agradável, não me parece confirmada na realidade. Se o estudante for exposto a um só algoritmo de cada operação, ele perderá menos tempo. Quanto à oportunidade de desenvolver outras estratégias, o ambiente propício para isso é o do cálculo mental. Sem falar que ele conta também com a calculadora.

A meu ver, todo o trabalho nos cursos iniciais está sendo perdido, pela distância entre as justificativas e as aplicações. As muitas possibilidades de escolha aumentam essa distância, o que deixa o aluno perdido como num labirinto.

Sou de opinião que quem precisa conhecer e ter capacidade de analisar diversos processos de cálculo é o professor. Ele, sim, precisa conhecer e analisar vários processos, tanto para escolher o que achar mais conveniente para sua turma, quanto para aceitar, quando estiver certo, ou corrigir, se preciso for, algum outro processo usado por aluno seu.

Penso, entretanto, que, quando se depara pela primeira vez com as operações, o estudante precisa ser informado de um só algoritmo. E a escolha do professor não pode se afastar demais daquela feita pela humanidade, pois, em algum sentido, os algoritmos chamados, com certo desprezo, de tradicionais são minimais, tendo passado pelo crivo do tempo.

Para mim, repito, a responsabilidade de escolha do processo a ser ensinado ao principiante é do professor.

Na subtração, por exemplo, o professor pode escolher entre um dos dois modos: o de “tirar” (de cima para baixo) ou o de “completar” (de baixo para cima). Vale, no entanto, atrelar essa escolha à que ele fará na divisão, entre o algoritmo longo e o curto. Na divisão, o algoritmo longo usa a subtração de cima para baixo e o curto usa a subtração de baixo para cima.

Por essas e por outras, concluí que o estudante, nos anos iniciais, precisa tomar conhecimento dos conceitos e das justificativas dos procedimentos, mas precisa também partir mais depressa para automatização dos cálculos, a fim de trabalhar com mais desenvoltura em aplicações e sentir o valor de tais procedimentos. Aí, sim, ele terá condições de perceber e assimilar os significados, o que vai acontecendo, aos poucos, por insights posteriores.

Que fique bem claro que não defendo a ideia de pura repetição dos procedimentos como se fosse um videogame, sem percepção da justificativa.

Defendo a ideia de que o professor faça escolhas e justifique todos os passos que o estudante vai dar, com argumentos lógicos acessíveis à faixa de idade do aluno e, se preciso for, com material de numeração. Porém que não se exija do aluno a repetição de tais argumentos, logo de imediato. Não é preciso, como se vê em algumas obras didáticas, desenvolver um sem número de atividades para esclarecer, eu diria mesmo treinar, o estudante nessas justificativas. Melhor será, penso eu, gastar o tempo com aplicações um pouco mais significativas do que essas introdutórias. O trabalho com aplicações será, porém, muito mais árduo ou muito insosso, se o estudante não adquirir, antes, uma certa desenvoltura no cálculo com algoritmos.



E o ENEM?

Carta enviada à escritora Lya Luft (*)

Prezada escritora Lya Luft:

Sou professora de Matemática e dou-lhe meus parabéns por focalizar o ENEM(**) (O Enem de novo, Revista Veja de 9 de novembro de 2011, p.24: Acervo Digital VEJA - Digital Pages). É importante, porém, registrar que há problemas ainda muito mais sérios a resolver nesse exame do que os de organização que foram apresentados em sua crônica.

Antes de mais nada, sua observação, muito própria, sobre a eventual dificuldade de concentração provocada por esses problemas, lembrou-me uma das angústias que esse exame me tem provocado: nesse exame, o aluno que tentar concentrar-se não chegará ao final das questões. De acordo com as instruções, ele tem 4 horas para ler mais de 30 páginas, com 90 questões e 5 alternativas em cada questão. Isso dá menos de 8 minutos por página, com média de 3 questões por página, com 5 alternativas cada, para ler, pensar em cada uma delas e escolher a resposta certa.

Em nome de poupar a memória, de contextualizar as questões e, conforme foi dito por autoridades, de desenvolver a prática da leitura, as questões têm enunciados enormes. Essa imposição à leitura pode provocar o treino de leitura rápida, mas dificilmente é a hora e o local para desenvolver o gosto pela leitura e pouco estimula a reflexão.

Acresce ainda o fato de que a matéria indicada, por exemplo, na  
Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias  (Anexo III, em
 http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/edital/2011/edital_n07_18_05_2011_2.pdf) tem um caráter muito vago, que, pelos títulos, refere-se a temas do nível fundamental, a menos dos números reais. Além disso, quais são essas misteriosas Tecnologias da Matemática que só aparecem no título?

Há ainda questões mal formuladas como, por exemplo, a questão de número 169 no caderno rosa de 2011. Essa questão apresenta o resultado de uma pesquisa em que não há informação sobre quase 20% dos domicílios pesquisados. Essa falta de informação impede o cálculo da probabilidade solicitada. Uma prova para 4 milhões de estudantes, que pretende ser o portal de entrada para qualquer universidade do país e que já está influenciando os rumos do ensino básico, não pode apresentar erro tão evidente.

As universidades já estão reclamando da falta de preparo dos ingressantes, tendo que, muitas delas, incluir cursos preliminares de Matemática. Acabamos de ver num tele-jornal a observação de uma professora em escola de enfermagem, de nível médio, que afirmou ser preciso trabalhar operações aritméticas antes de focalizar os temas específicos. A continuar a vigorar este exame, que não cobra conhecimento acumulado, realizado antes de dezembro, o que permite, àqueles que podem viajar, o gozo pleno das férias, nosso ensino básico irá, ainda mais, ladeira abaixo. Não tenho dúvidas sobre isso.

É preciso reagir, privilegiar o estudo, a reflexão e reconhecer o prazer de aprender.

Esperamos contar com os formadores de opinião em nosso país para que essa reação aconteça o quanto antes.

Muito grata,

                                                     Alcilea Augusto.

(*): a publicação desta carta, neste blog, foi aprovada pela escritora.
(**) ENEM = Exame Nacional do Ensino Médio, aplicado aos alunos que terminam os 12 anos de Educação Básica.