Vi a foto de um trecho de aula sobre resolução de equações diferenciais de 1ª ordem com uso de fator integrante, no Grupo do Facebook, PROFS DE MATEMÁTICA TIRAM DÚVIDAS, e me lembrei de um texto do Prof. Chaim Samuel Hönig, IME – USP, em que está a análise completa desse assunto como nunca vi noutro lugar.
Na Álgebra, quando se resolvem equações elevando os dois membros ao quadrado, já nos acostumamos e verificar se foram introduzidas soluções estranhas ao problema dado. Também o uso do fator integrante pode incluir algumas soluções e excluir outras. Isso é fácil de perceber, e o texto do Prof. Chaim traz isso, mas nunca vi essa análise noutro lugar.
De fato, se você tem um fator integrante m da equação Xdx+Ydy e integra achando F(x,y), você sabe que
dF = m(Xdx+Ydy).
Então, curvas em que m = 0 estão incluídas em F = constante, mas podem não ser solução da equação de partida.
Por outro lado,
Xdx+Ydy = (1/m)dF,
então, curvas tais que 1/m = 0 são soluções da equação e podem ter sido excluídas...
Desde que vi isso, sempre que resolvo uma equação pelo fator integrante, analiso as curvas definidas por m = 0 – se existirem, elas estão certamente incluídas naquelas em que F = constante, mas podem ser, ou não, soluções da equação dada.
E, se houver curvas tais que 1/m=0, elas podem não estar incluídas em F = c, mas são soluções da equação.
Podemos estranhar que haja curvas em que 1/m = 0, mas vale lembrar que m pode ser, por exemplo, 1/x...
Escrevi aqui porque não achei o texto original, embora a memória me diga que ele está por aí em algum nó desta Rede...
